30 oct. 2016

Mecánica: Midiendo de oído

Un mecánico necesitaba un cilindro cuya altura fuera el triple de su diámetro, con la mayor exactitud posible. Quería elegir el mejor entre dos que eran muy parecidos, pero había llegado a un punto en el que su regla graduada no le sacaba de dudas, ya que tenía precisión de centímetros. Por tanto, recurrió a su amigo el físico, que hendió una muesca en el extremo de cada cilindro. Presionando sobre éstas, hizo girar ambos y el mecánico, sorprendido, vio claramente cuál de ellos era el más proporcionado. 
     
Mirándolos rotar, cualquiera lo habría intuido.


24 fotogramas por segundo


GIF tomado (sin permiso) de la web de un gran museo de San Francisco llamado Exploratorium (https://www.exploratorium.edu/snacks/spinning-cylinder)

Como observamos en el GIF, si le damos un buen empujón al cilindro más proporcionado (en este caso, con una altura tres veces mayor que el diámetro), lo que observamos es un disco con tres muescas o marcas equidistantes en los extremos (que aparecen cada 120º). Sin embargo, si hacemos rotar uno que no lo esté, en vez de encontrar este patrón, hallaremos una franja homogénea más oscura (a la altura donde antes estaba la marca), distribuida por todo el disco. Por ello, está a la vista de cualquiera (incluso la persona con menor sensibilidad geométrica del mundo) cuál es el cilindro más armonioso.

En primer lugar, es obvio que percibimos un disco porque el cilindro gira tan rápido que nuestro cerebro no es capaz de discriminar su posición en cada instante. Vemos el disco por el mismo motivo por el que si pasamos de un dibujo a otro muy rápido (a 24 fotogramas por segundo) salen dibujos animados. Lo interesante es por qué vemos la marca repetida tres veces en dicho disco, y ahí es donde entra la mecánica (la rama de la física, no la de los coches).

Simplificando un poco, el movimiento del cilindro se puede entender como un movimiento de giro en torno al eje vertical (que lo atraviesa por su centro) que es el que le hace describir un disco y uno de rotación en torno a su eje de simetría  (que le hemos transmitido al presionar su extremo, y que, de haberlo aplicado en el centro del cilindro, habría hecho que éste simplemente avanzara hacia delante). Al principio, nada más hacerlo girar, no observamos el patrón, sino que aparece cuando el cilindro ya lleva unos instantes moviéndose. Estos momentos son el tiempo que tarda el sistema en disipar energía (trabajo de la fuerza de fricción) y en alcanzar (realmente no la alcanza, pero en los extremos del cilindro casi lo hace) la condición no deslizante, en la que se verifica algo fundamental para la resolución de nuestro problema: los extremos del cilindro rotan sin deslizarse.


Los extremos del cilindro rotan y se trasladan como en el esquema, aunque no desciendan por un plano inclinado como el del esquema (Imagen tomada sin permiso de http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/iman/cilindro2.gif)


Una vez hecha esta deducción, el problema está casi resuelto: sabemos que la distancia que rota el cilindro sobre su eje de simetría en una vuelta (llamando vuelta a cada vez que el cilindro describe un disco completo) es la misma que la que recorre su extremo. Pues bien, el extremo del cilindro recorre la distancia $L$ (aplicando la fórmula del perímetro de una circunferencia y siendo $h$ la altura):

$L=\pi h$

Cada vez que el cilindro (recordamos, sin deslizamiento) rota sobre su eje, su extremo recorre una distancia $D$ (siendo $d$ el diámetro):

$D=\pi d$

Ahora, como sabemos que $d=\frac{h}{3}$, $L=3D$ y he ahí por qué vemos tres patrones regulares: el cilindro rota sobre su eje tres veces por cada vuelta que dan sus extremos, quedando al descubierto la marca tres veces por vuelta, siempre en las mismas zonas.

Cortando un tubo de PVC podéis investigar qué pasaría si hacéis que la relación altura:diámetro sea 4:1, 3:2,... O qué ocurre si pintáis otra marca en la región diametralmente opuesta a donde pusisteis la primera. Para manitas, merece la pena visitar la página del Exploratorium, que está al final de la entrada.

Este problema tiene mucha más física detrás: es obvio que no se cumple a rajatabla la condición no deslizante (porque si no, el cilindro se movería en línea recta en vez de rotar) y además, pasan cosas inesperadas si, estando la primera marca cara arriba, pintamos una marca distinta en el otro extremo del cilindro. Al hacer girar el mismo presionando sobre la primera marca, ¡la última desaparece!

Dejo explicar ésto como deberes (voluntarios) para el lector, así como me dejo a mí mismo el de encontrar una forma sencilla de describir fielmente el movimiento propuesto.


La proporción suena bien

Mecánica y ondas suelen ir de la mano (al menos, en Laboratorio de Física II) así que, para descansar, vamos a ayudar al mecánico a resolver otro problema (cuya explicación, aseguro, es más sencilla que la anterior).

Una vez consiguió el mecánico el cilindro perfecto para el Fiat Multipla que estaba reparando, se encontró con otro problema similar: tenía que colocar dos cables de la misma longitud de manera que la tensión de uno fuera el cuádruple de la del otro. "¡¿Cómo pongo a girar dos cables?!" se preguntaba. Su amigo el físico le dijo que no se preocupara, que el problema se podía solucionar de oído.
Primero, ajustó los dos cables de manera que al pulsarlos uno sonaba una escala más grave que el otro (igual que el do bajo suena más grave que el do alto). Una vez hecho esto, fue tensando uno de ellos hasta que, al tocarlos a la vez, el sonido estuviera afinado (que se escuchara un sonido continuo, no oscilante). Cuando lo logró, le dijo a su amigo que las tensiones estaban muy cercanas a la relación deseada.

La primera ley física de la historia (que describía un fenómeno natural en términos matemáticos) fue enunciada por Pitágoras, y consiste en que cuanto más simple es la proporción entre longitudes de dos cuerdas, mejor suenan cuando las tocamos a la vez (veremos que el enunciado es equivalente para la raíz cuadrada de las tensiones cada cuerda). Así, cuando tenemos dos cuerdas en proporción 1:2, obtenemos la octava; en proporción 2:3, la quinta,...


Las relaciones entre frecuencias más importantes (base de la música tal y como la conocemos)
[Tomado sin permiso, como de costumbre, de http://legacy.earlham.edu/~tobeyfo/musictheory/Book1/FFH1_CH1/1M_RatiosCommas1.html]


Calculando las velocidades ($v_1$,$v_2$) de la onda que se produce en cada cuerda, tenemos que (siendo $T_1,T_2$ las tensiones en cada cuerda y $\nu_1,\nu_2$, las frecuencias de la onda en cada cuerda):

$v_1=\lambda\nu_1=\sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$

$v_2=\lambda\nu_2=\sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$

Donde $\lambda, \mu$ son, respectivamente, la longitud de onda y la densidad lineal de la cuerda, ambas constantes para las dos cuerdas (son del mismo material y, al tener la misma longitud, la longitud de onda del primer armónico es igual en ambas).

Sustituyendo la condición $T_1=4T_2$ y dividiendo la primera ecuación por la segunda, llegamos a:

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\nu_1}{\nu_2}=\sqrt{\frac{4T_2}{T_2}}=2$

Por tanto, la relación de frecuencias del sonido emitido por cada cuerda es 1:2 y es de octava, la más fácil de distinguir.

Podemos ajustar aún más el sonido haciendo que no se escuchen los batimientos (esas oscilaciones en la intensidad del sonido que percibimos a veces, que se producen cuando las frecuencias de dos sonidos están próximas (o sus relaciones son cercanas a un cociente sencillo)). Los batimientos son los responsables de que una orquesta suene desafinada.

Si no os fiáis de mis fórmulas y queréis experimentar por vosotros mismos, probad abriendo varias pestañas de http://onlinetonegenerator.com/ (funciona también en móviles) y poniendo una a 440Hz y otra a 220Hz. Saldrá una armonía agradable (son frecuencias en relación de octava). Si probáis a cambiar 220Hz por 221Hz o 222Hz, notaréis una oscilación en la intensidad del sonido (que puede ser algo molesta), por lo que es muy fácil ajustar de oído dos frecuencias para que estén en una proporción sencilla.

Si queréis ver un batimiento en todo su esplendor, poned una pestaña a 439Hz y otra a 440Hz, veréis cómo se nota. (Por cierto, 440 hercios es la frecuencia del La en el que afinan las orquestas).

¿Por qué percibimos tan bien la regularidad?

Al leer estos ejemplos de medidas a ojo y de oído, se podría sacar la conclusión de que nuestros sentidos son expertos en encontrar regularidades. Yo, sin embargo, no lo veo así: al superponerse frecuencias proporcionales, la propia onda resultante es armónica en sí misma, de manera objetiva y no porque nuestro oído lo interprete así. Igual pasa con el cilindro rotatorio: nuestros ojos no interpretan la realidad como una regularidad en ese caso, sino que el patrón ya estaba ahí antes. Poniéndonos kantianos, la regularidad existía en el noúmeno de antemano, no la imponen nuestras estructuras cognoscitivas.

Si bien, es cierto que las personas nos inclinamos a percibir regularidades (en especial, caras), incluso en lugares donde no las hay: coches, arbustos, sandwiches, la ropa que dejaste sobre la silla (¡y que se parece tanto al monstruo de la peli de miedo que acabas de ver!),...


Izq: Fiat Multipla, un coche que, además de ser muy feo, recuerda a una ballena beluga. | Der: Diane Duyser, "descubridora" del sandwich sagrado, una de las pareidolias más lucrativas: la vendió a un casino por 28 000 $.

Esta tendencia se llama pareidolia, y Carl Sagan la mencionó (magistralmente) en varios episodios de Cosmos, resaltando que la percepción de patrones donde no los hay es un criadero idóneo para las pseudociencias.

Propone una posible causa evolutiva de dicha tendencia en uno de sus libros:
Tan pronto como el niño puede ver, reconoce rostros. Ahora sabemos que esta habilidad está enraizada en nuestro cerebro. Los bebés que hace un millón de años eran incapaces de reconocer una cara devolvían menos sonrisas, era menos probable que se ganaran el corazón de sus padres y tenían menos probabilidad de prosperar. Hoy en día, casi todos los bebés identifican con rapidez una cara humana y responden con una mueca.
Carl Sagan (El mundo y sus demonios, 1995)


 Os dejo con la genial ejemplificación de Sagan de la selección natural (tangente a este post, puesto que los cangrejos heike sobreviven gracias a nuestra pareidolia):

















22 oct. 2016

Geometría esférica I: La liberación de la curva

Los ángulos de un triángulo suman 180º ¡si éste se encuentra sobre un plano!


Normalmente, obviamos la última parte de la oración. Los profanos damos por hecho que toda la geometría se desarrolla en el plano, ajenos a las geometrías elíptica, hiperbólica,... de las que aquí no vamos a hablar (más que nada, porque no tengo ni idea de ellas). El caso es que resulta muy interesante preguntarse cómo serían las figuras geométricas que conocemos si en vez de en un plano las dibujáramos en una superficie un pelín más rara, como por ejemplo, una esfera. Pero antes de ir al grano, vamos a estudiar un poco de historia para ver de dónde salen todas estas geometrías...


Euclides y sus postulados



El aspecto que más me fascina de los matemáticos es su habilidad para deducir potentes teorías a partir de principios muy simples. Estos ladrillos sólidos en torno a los que se construye la catedral biblioteca de las matemáticas se llaman axiomas postulados. No sólo se usan en matemáticas, todas las teorías científicas parten de hechos que se toman como ciertos, que no se deducen ni se razonan. Por ejemplo, la teoría de la relatividad especial asume que las leyes físicas son iguales para cualquier observador que se mueva a velocidad constante. Si el universo no se comportara así, la teoría de Einstein no sería válida.

La geometría, cómo no, tiene también sus postulados. Los dedujo Euclides en su obra Los Elementos, que escribió hace unos 2300 años. Es importante darse cuenta de que Euclides no inventó la geometría, no dictó los postulados y a partir de ahí se construyeron todas las figuras geométricas (Tales y Pitágoras vivieron unos siglos antes que él e hicieron fuertes descubrimientos en el campo), sino que intentó clarificar la geometría del momento haciendo que toda ella se pudiera deducir de una serie de cláusulas sencillas (lo cual también tiene muchísimo mérito).

Escribió, pues, cinco postulados en los que se basa la geometría plana, que siguen siendo igual de válidos hoy (de hecho, esta geometría se conoce como euclídea en su honor):

  1. Dos puntos determinan un segmento.
  2. Un segmento se puede extender infinitamente dando lugar a una recta.
  3. Se puede trazar una circunferencia con cualquier centro y cualquier radio.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Por un punto exterior a una recta, sólo pasa una paralela a la misma. (Postulado de las paralelas)
A mí me parecen todos bastante básicos, pero Euclides y otros matemáticos no estaban convencidos con el quinto. En la formulación original de los postulados, el último se enuncia como "si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos" (no quiero alargar excesivamente la entrada, pero son muy curiosas las versiones alternativas al quinto postulado que se han ido planteando a lo largo de la historia, como "las rectas paralelas son equidistantes" o "existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes"). La complejidad del mismo en comparación con los otros hizo que los estudiosos se plantearan la posibilidad de deducirlo de los demás. 

Hace poco [unos 200 años, estando (cómo no) Gauss de por medio], se decidió poner punto y final al dilema y se trató de demostrar por reducción al absurdo (empiezas suponiendo falso lo que quieres probar e intentas llegar a una contradicción que indique que tiene que ser verdadero) que el postulado de las paralelas era fundamental. Así pues, se prescindió de él y se construyeron las figuras geométricas a partir de los otros cuatro. Y la conclusión fue...


La liberación de la curva



El postulado de las paralelas oprimía a las curvas, encorsetándolas en los cánones de las figuras planas e imposibilitando que algunas rectas (conocidas como paralelas por el euclídeopatriarcado) se pudieran cruzar. 
Dejando la coña a un lado (y recalcando mi admiración a Mary Wollstonecraft y el feminismo de primera y segunda ola): se concluyó que el quinto postulado era fundamental para la geometría plana y eliminándolo, se obtenían geometrías nuevas como las mencionadas anteriormente. Por tanto, en geometría esférica, no existen rectas paralelas: todas ellas se cortan entre sí.


Volvemos al triángulo en la esfera



En una esfera, definimos como rectas a los círculos máximos que se pueden trazar en ella (es decir, los círculos que tienen radio igual al de la esfera en la que los dibujamos). Un triángulo, como el que tenemos aquí abajo, está delimitado por tres segmentos de círculos máximos.



Ahora llega el momento de sorprenderse: ¡Todos los ángulos de este triángulo son rectos!
En efecto, cuando estamos sobre una esfera, toca reformular el teorema con el que empieza la entrada:


Los ángulos de un triángulo suman entre 180º y 540º si éste se encuentra sobre una esfera.



¿O sea que toda la trigonometría plana, basada en la constancia de la suma de los ángulos del triángulo es inválida para situaciones como esta? Pues no. Hay una entrada entera en Wikipedia sobre trigonometría esférica para los más interesados, pero aquí sólo voy a hablar de uno de los teoremas más asombrosos sobre triángulos en esferas, que relaciona el área del mismo ($A_{triang}$) con la suma de sus ángulos internos ($a, b, c$) y el radio de la esfera en el que está pintado ($r$):

$a+b+c=\pi + \frac{A_{triang}}{r^2}$

Esta bella expresión implica que la suma de los ángulos de un triángulo esférico (dibujado sobre una esfera de radio 1) es igual a su área más la suma de los ángulos de un triángulo plano (π radianes, que es lo mismo que 180º). 

La demostración es igual de bonita: se prueba prolongando los tres lados del triángulo, dando lugar a gajos iguales dos a dos [técnicamente. biángulos (¡sí, existen los polígonos de dos lados en geometría esférica!)] . Nos queda esto: 

Imagen tomada (sin permiso) de http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com.es/2007/09/parte-iii-las-geometras-esfrica-y.html Los ángulos a, b y c aquí aparecen en mayúsculas.

Si te fijas, las prolongaciones de los lados del triángulo forman otro triángulo igual en las antípodas.

Asimismo, cada par de gajos (asociados a los ángulos $a, b, c$) tiene un área igual a su ángulo en radianes por 4 veces el radio (de la esfera) al cuadrado. 
Esto se puede ver observando que el área de la esfera es 4π por su radio al cuadrado, y si el ángulo del gajo fuera π, cubriría media esfera, por lo que los dos la cubrirían entera. Haciendo una simple regla de tres obtenemos la relación anterior.

Ahora bien, las tres parejas de gajos intersecan en los dos triángulos sombreados de la figura, por lo que el área de la esfera es (denotando el área de cada elemento por $A_{elemento}$):

$A_{esfera} = A_{gajos}  - 2\cdot A_{interseccion}$ (porque si no, tendríamos en cuenta tres veces el área de los triángulos) 
$A_{gajos} = 4ar^2 + 4br^2 + 4cr^2$
$A_{interseccion} = 2A_{triang}$
$A_{esfera} = 4ar^2 + 4br^2 + 4cr^2 - 4A_{triang} = 4\pi r^2$

Sumando $4A_{triang}$ a los dos lados y dividiendo por $4r^2$, llegamos a la relación que queríamos demostrar.

La explicación es escueta por no alargar la entrada. Si quieres verlo de forma más rigurosa o no lo has entendido bien, está demostrado clarísimamente en Ciclo Límite.


¿Y todo esto para qué sirve? (pregunta el lector pragmático)


La primera respuesta es la que más me gusta dar, y consiste en que los resultados matemáticos no tienen por qué servir para nada. Un matemático se dedica a deducir consecuencias de unos determinados axiomas, y no hace falta que su trabajo tenga que ser aplicable a problemas mundanos como construir edificios muy altos o defender al país del enemigo (sin embargo, han servido en numerosísimas ocasiones para ello). Como decía el experto en teoría de números Godfrey H. Hardy (en una traducción bastante libre): 

"Nunca he hecho nada útil. Ningún descubrimiento mío ha revertido (y probablemente nunca revertirá) en el bienestar de la Humanidad."

La segunda respuesta es la que la gente necesita que le des, y se basa en que Hardy se equivocaba.

Todos los descubrimientos matemáticos, por abstractos que sean, acaban teniendo aplicación práctica. Sin ir más lejos, la querida teoría de números del propio Hardy (que en su momento parecía totalmente inaplicable a la realidad) es hoy la base de la omnipresente criptografía asimétrica, gracias a la cual estás leyendo este blog.

Así pues, la geometría esférica tiene aplicaciones en navegación (utilísimas desde que los ibéricos empezamos a innovar en la exploración marítima en el siglo XV) y realización de mapas, por ejemplo. Hablaremos de las dos en la próxima entrada de geometría esférica.

Para terminar, os dejo con otra perla de Hardy, sacada de su libro Apología de un matemático, cuya lectura recomiendo, por ser corto y ameno y plasmar perfectamente el espíritu de las matemáticas y del esnobismo inglés.

Es una frase que, para un japonés, puede sonar a humor negro:
"Nadie ha descubierto todavía una aplicación militar para la teoría de números o la de la relatividad, y parece improbable que ésto vaya a cambiar a largo plazo".  

G. H. Hardy, 1940