30 oct. 2016

Mecánica: Midiendo de oído

Un mecánico necesitaba un cilindro cuya altura fuera el triple de su diámetro, con la mayor exactitud posible. Quería elegir el mejor entre dos que eran muy parecidos, pero había llegado a un punto en el que su regla graduada no le sacaba de dudas, ya que tenía precisión de centímetros. Por tanto, recurrió a su amigo el físico, que hendió una muesca en el extremo de cada cilindro. Presionando sobre éstas, hizo girar ambos y el mecánico, sorprendido, vio claramente cuál de ellos era el más proporcionado. 
     
Mirándolos rotar, cualquiera lo habría intuido.


24 fotogramas por segundo


GIF tomado (sin permiso) de la web de un gran museo de San Francisco llamado Exploratorium (https://www.exploratorium.edu/snacks/spinning-cylinder)

Como observamos en el GIF, si le damos un buen empujón al cilindro más proporcionado (en este caso, con una altura tres veces mayor que el diámetro), lo que observamos es un disco con tres muescas o marcas equidistantes en los extremos (que aparecen cada 120º). Sin embargo, si hacemos rotar uno que no lo esté, en vez de encontrar este patrón, hallaremos una franja homogénea más oscura (a la altura donde antes estaba la marca), distribuida por todo el disco. Por ello, está a la vista de cualquiera (incluso la persona con menor sensibilidad geométrica del mundo) cuál es el cilindro más armonioso.

En primer lugar, es obvio que percibimos un disco porque el cilindro gira tan rápido que nuestro cerebro no es capaz de discriminar su posición en cada instante. Vemos el disco por el mismo motivo por el que si pasamos de un dibujo a otro muy rápido (a 24 fotogramas por segundo) salen dibujos animados. Lo interesante es por qué vemos la marca repetida tres veces en dicho disco, y ahí es donde entra la mecánica (la rama de la física, no la de los coches).

Simplificando un poco, el movimiento del cilindro se puede entender como un movimiento de giro en torno al eje vertical (que lo atraviesa por su centro) que es el que le hace describir un disco y uno de rotación en torno a su eje de simetría  (que le hemos transmitido al presionar su extremo, y que, de haberlo aplicado en el centro del cilindro, habría hecho que éste simplemente avanzara hacia delante). Al principio, nada más hacerlo girar, no observamos el patrón, sino que aparece cuando el cilindro ya lleva unos instantes moviéndose. Estos momentos son el tiempo que tarda el sistema en disipar energía (trabajo de la fuerza de fricción) y en alcanzar (realmente no la alcanza, pero en los extremos del cilindro casi lo hace) la condición no deslizante, en la que se verifica algo fundamental para la resolución de nuestro problema: los extremos del cilindro rotan sin deslizarse.


Los extremos del cilindro rotan y se trasladan como en el esquema, aunque no desciendan por un plano inclinado como el del esquema (Imagen tomada sin permiso de http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/iman/cilindro2.gif)


Una vez hecha esta deducción, el problema está casi resuelto: sabemos que la distancia que rota el cilindro sobre su eje de simetría en una vuelta (llamando vuelta a cada vez que el cilindro describe un disco completo) es la misma que la que recorre su extremo. Pues bien, el extremo del cilindro recorre la distancia $L$ (aplicando la fórmula del perímetro de una circunferencia y siendo $h$ la altura):

$L=\pi h$

Cada vez que el cilindro (recordamos, sin deslizamiento) rota sobre su eje, su extremo recorre una distancia $D$ (siendo $d$ el diámetro):

$D=\pi d$

Ahora, como sabemos que $d=\frac{h}{3}$, $L=3D$ y he ahí por qué vemos tres patrones regulares: el cilindro rota sobre su eje tres veces por cada vuelta que dan sus extremos, quedando al descubierto la marca tres veces por vuelta, siempre en las mismas zonas.

Cortando un tubo de PVC podéis investigar qué pasaría si hacéis que la relación altura:diámetro sea 4:1, 3:2,... O qué ocurre si pintáis otra marca en la región diametralmente opuesta a donde pusisteis la primera. Para manitas, merece la pena visitar la página del Exploratorium, que está al final de la entrada.

Este problema tiene mucha más física detrás: es obvio que no se cumple a rajatabla la condición no deslizante (porque si no, el cilindro se movería en línea recta en vez de rotar) y además, pasan cosas inesperadas si, estando la primera marca cara arriba, pintamos una marca distinta en el otro extremo del cilindro. Al hacer girar el mismo presionando sobre la primera marca, ¡la última desaparece!

Dejo explicar ésto como deberes (voluntarios) para el lector, así como me dejo a mí mismo el de encontrar una forma sencilla de describir fielmente el movimiento propuesto.


La proporción suena bien

Mecánica y ondas suelen ir de la mano (al menos, en Laboratorio de Física II) así que, para descansar, vamos a ayudar al mecánico a resolver otro problema (cuya explicación, aseguro, es más sencilla que la anterior).

Una vez consiguió el mecánico el cilindro perfecto para el Fiat Multipla que estaba reparando, se encontró con otro problema similar: tenía que colocar dos cables de la misma longitud de manera que la tensión de uno fuera el cuádruple de la del otro. "¡¿Cómo pongo a girar dos cables?!" se preguntaba. Su amigo el físico le dijo que no se preocupara, que el problema se podía solucionar de oído.
Primero, ajustó los dos cables de manera que al pulsarlos uno sonaba una escala más grave que el otro (igual que el do bajo suena más grave que el do alto). Una vez hecho esto, fue tensando uno de ellos hasta que, al tocarlos a la vez, el sonido estuviera afinado (que se escuchara un sonido continuo, no oscilante). Cuando lo logró, le dijo a su amigo que las tensiones estaban muy cercanas a la relación deseada.

La primera ley física de la historia (que describía un fenómeno natural en términos matemáticos) fue enunciada por Pitágoras, y consiste en que cuanto más simple es la proporción entre longitudes de dos cuerdas, mejor suenan cuando las tocamos a la vez (veremos que el enunciado es equivalente para la raíz cuadrada de las tensiones cada cuerda). Así, cuando tenemos dos cuerdas en proporción 1:2, obtenemos la octava; en proporción 2:3, la quinta,...


Las relaciones entre frecuencias más importantes (base de la música tal y como la conocemos)
[Tomado sin permiso, como de costumbre, de http://legacy.earlham.edu/~tobeyfo/musictheory/Book1/FFH1_CH1/1M_RatiosCommas1.html]


Calculando las velocidades ($v_1$,$v_2$) de la onda que se produce en cada cuerda, tenemos que (siendo $T_1,T_2$ las tensiones en cada cuerda y $\nu_1,\nu_2$, las frecuencias de la onda en cada cuerda):

$v_1=\lambda\nu_1=\sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$

$v_2=\lambda\nu_2=\sqrt{\frac{T_2}{\mu}}$

Donde $\lambda, \mu$ son, respectivamente, la longitud de onda y la densidad lineal de la cuerda, ambas constantes para las dos cuerdas (son del mismo material y, al tener la misma longitud, la longitud de onda del primer armónico es igual en ambas).

Sustituyendo la condición $T_1=4T_2$ y dividiendo la primera ecuación por la segunda, llegamos a:

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{\nu_1}{\nu_2}=\sqrt{\frac{4T_2}{T_2}}=2$

Por tanto, la relación de frecuencias del sonido emitido por cada cuerda es 1:2 y es de octava, la más fácil de distinguir.

Podemos ajustar aún más el sonido haciendo que no se escuchen los batimientos (esas oscilaciones en la intensidad del sonido que percibimos a veces, que se producen cuando las frecuencias de dos sonidos están próximas (o sus relaciones son cercanas a un cociente sencillo)). Los batimientos son los responsables de que una orquesta suene desafinada.

Si no os fiáis de mis fórmulas y queréis experimentar por vosotros mismos, probad abriendo varias pestañas de http://onlinetonegenerator.com/ (funciona también en móviles) y poniendo una a 440Hz y otra a 220Hz. Saldrá una armonía agradable (son frecuencias en relación de octava). Si probáis a cambiar 220Hz por 221Hz o 222Hz, notaréis una oscilación en la intensidad del sonido (que puede ser algo molesta), por lo que es muy fácil ajustar de oído dos frecuencias para que estén en una proporción sencilla.

Si queréis ver un batimiento en todo su esplendor, poned una pestaña a 439Hz y otra a 440Hz, veréis cómo se nota. (Por cierto, 440 hercios es la frecuencia del La en el que afinan las orquestas).

¿Por qué percibimos tan bien la regularidad?

Al leer estos ejemplos de medidas a ojo y de oído, se podría sacar la conclusión de que nuestros sentidos son expertos en encontrar regularidades. Yo, sin embargo, no lo veo así: al superponerse frecuencias proporcionales, la propia onda resultante es armónica en sí misma, de manera objetiva y no porque nuestro oído lo interprete así. Igual pasa con el cilindro rotatorio: nuestros ojos no interpretan la realidad como una regularidad en ese caso, sino que el patrón ya estaba ahí antes. Poniéndonos kantianos, la regularidad existía en el noúmeno de antemano, no la imponen nuestras estructuras cognoscitivas.

Si bien, es cierto que las personas nos inclinamos a percibir regularidades (en especial, caras), incluso en lugares donde no las hay: coches, arbustos, sandwiches, la ropa que dejaste sobre la silla (¡y que se parece tanto al monstruo de la peli de miedo que acabas de ver!),...


Izq: Fiat Multipla, un coche que, además de ser muy feo, recuerda a una ballena beluga. | Der: Diane Duyser, "descubridora" del sandwich sagrado, una de las pareidolias más lucrativas: la vendió a un casino por 28 000 $.

Esta tendencia se llama pareidolia, y Carl Sagan la mencionó (magistralmente) en varios episodios de Cosmos, resaltando que la percepción de patrones donde no los hay es un criadero idóneo para las pseudociencias.

Propone una posible causa evolutiva de dicha tendencia en uno de sus libros:
Tan pronto como el niño puede ver, reconoce rostros. Ahora sabemos que esta habilidad está enraizada en nuestro cerebro. Los bebés que hace un millón de años eran incapaces de reconocer una cara devolvían menos sonrisas, era menos probable que se ganaran el corazón de sus padres y tenían menos probabilidad de prosperar. Hoy en día, casi todos los bebés identifican con rapidez una cara humana y responden con una mueca.
Carl Sagan (El mundo y sus demonios, 1995)


 Os dejo con la genial ejemplificación de Sagan de la selección natural (tangente a este post, puesto que los cangrejos heike sobreviven gracias a nuestra pareidolia):

















Fuentes y lectura recomendada

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